978. Random Walk Skewness

In this problem we consider a random walk on the integers $\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$, in which our position at time $t$$t$ is denoted as $X_t$$X_t$.

At time $0$$0$ we start at position $0$$0$. That is, $X_0=0$$X_0=0$.
At time $1$$1$ we jump to position $1$$1$. That is, $X_1=1$$X_1=1$.
Thereafter, at time $t=2,3,\dots$$t=2,3,\dots$ we make a jump of size $|X_{t-2}|$$|X_{t-2}|$ in either the positive or negative direction, with probability $1/2$$1/2$ each way. If $X_{t-2}=0$$X_{t-2}=0$ we stay put at time $t$$t$.

At $t=5$$t=5$ we find our position $X_5$$X_5$ has the following distribution:

The standard deviation $\sigma$$\sigma$ of a random variable $X$$X$ with mean $\mu$$\mu$ is defined as

Furthermore the skewness of $X$$X$ is defined as

For $X_5$$X_5$, which has mean $1$$1$ and standard deviation $2$$2$, we find $\text{Skew}(X_5)=0.75$$\text{Skew}(X_5)=0.75$. You are also given $\text{Skew}(X_{10})\approx 2.50997097$$\text{Skew}(X_{10})\approx2.50997097$.

Find $\text{Skew}(X_{50})$$\text{Skew}(X_{50})$. Give your answer rounded to eight digits after the decimal point.

978. 随机游走的偏度

本题中，我们考虑整数集 $\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$ 上的 随机游走，并把第 $t$$t$ 时刻所在位置记为 $X_t$$X_t$。

第 $0$$0$ 时刻，我们在 $0$$0$ 处开始游走，也就是说 $X_0=0$$X_0=0$。
第 $1$$1$ 时刻，我们游走至 $1$$1$ 处，也就是说 $X_1=1$$X_1=1$。 此后，在时刻 $t=2,3,\dots$$t=2,3,\dots$，我们各以 $1/2$$1/2$ 的概率，向数轴的负方向或者正方向游走 $|X_{t-2}|$$|X_{t-2}|$ 步。若 $X_{t-2}=0$$X_{t-2}=0$，则我们在该时刻保持不动。

$t=5$$t=5$ 时，$X_5$$X_5$ 的概率分布如下：

我们定义 均值 为 $\mu$$\mu$ 的 随机变量 $X$$X$ 的 标准差 $\sigma$$\sigma$ 为：

并进一步定义 $X$$X$ 的 偏度 为：

对于 $X_5$$X_5$，其均值为 $1$$1$、标准差为 $2$$2$，容易算得 $\text{Skew}(X_5)=0.75$$\text{Skew}(X_5)=0.75$。亦已知 $\text{Skew}(X_{10})\approx 2.50997097$$\text{Skew}(X_{10})\approx2.50997097$。

求 $\text{Skew}(X_{50})$$\text{Skew}(X_{50})$，把答案四舍五入至小数点后第八位。

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