969. Kangaroo Hopping

Starting at zero, a kangaroo hops along the real number line in the positive direction. Each successive hop takes the kangaroo forward a uniformly random distance between $0$$0$ and $1$$1$. Let $H(n)$$H(n)$ be the expected number of hops needed for the kangaroo to pass $n$$n$ on the real line.

If we write $\alpha =H(1)$$\alpha = H(1)$, then for all positive integers $n$$n$, $H(n)$$H(n)$ can be expressed as a polynomial function of $\alpha$$\alpha$ with rational coefficients. For example $H(3)={\alpha }^3-2{\alpha }^2+\frac{1}{2}\alpha$$H(3)=\alpha^3-2\alpha^2+\frac{1}{2}\alpha$. Define $S(n)$$S(n)$ to be the sum of all integer coefficients in this polynomial form of $H(n)$$H(n)$. Therefore $S(1)=1$$S(1)=1$ and $S(3)=1+(-2)=-1$$S(3)=1+(-2)=-1$.
You are also given ${\displaystyle \sum _{n=1}^{10}S(n)=43}$$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} S(n)=43$.
Find ${\displaystyle \sum _{n=1}^{{10}^{18}}S(n)}$$\displaystyle\sum_{n=1}^{10^{18}} S(n)$. Give your answer modulo ${10}^9+7$$10^9+7$.

969. 袋鼠的跳跃

一只袋鼠正以一数轴的原点为起点，沿着数轴的正半轴方向跳跃。这只袋鼠每次跳跃的距离服从 $[0,1]$$[0, 1]$ 上的均匀分布。记 $H(n)$$H(n)$ 为：袋鼠经过数轴上代表 $n$$n$ 的点时，跳跃次数的期望。

若记 $\alpha =H(1)$$\alpha = H(1)$，那么对诸正整数 $n$$n$，$H(n)$$H(n)$ 可以被写作 $\alpha$$\alpha$ 的多项式，且该多项式的各项系数都是有理数。例如，$H(3)={\alpha }^3-2{\alpha }^2+\frac{1}{2}\alpha$$H(3)=\alpha^3-2\alpha^2+\frac{1}{2}\alpha$。记 $S(n)$$S(n)$ 为 $H(n)$$H(n)$ 中所有 整数 系数之和，从而有 $S(1)=1$$S(1)=1$、$S(3)=1+(-2)=-1$$S(3)=1+(-2)=-1$。

亦已知 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{10}S(n)=43}$$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} S(n)=43$。

求 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{{10}^{18}}S(n)}$$\displaystyle\sum_{n=1}^{10^{18}} S(n)$ 模 $({10}^9+7)$$(10^9+7)$ 的值。

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