965. Expected Minimal Fractional Value

Let $\{x\}$$\{x\}$ denote the fractional part of a real number $x$$x$.

Define $f_N(x)$$f_N(x)$ to be the minimal value of $\{nx\}$$\{nx\}$ for integer $n$$n$ satisfying $0<n\le N$$0 < n \le N$.
Further define $F(N)$$F(N)$ to be the expected value of $f_N(x)$$f_N(x)$ when $x$$x$ is sampled uniformly in $[0,1]$$[0, 1]$.

You are given $F(1)=\frac{1}{2}$$F(1) = \frac{1}{2}$, $F(4)=\frac{1}{4}$$F(4) = \frac{1}{4}$ and $F(10)\approx 0.1319444444444$$F(10) \approx 0.1319444444444$.

Find $F({10}^4)$$F(10^4)$ and give your answer rounded to 13 digits after the decimal point.

965. 极小小数部分的期望

我们将某实数 $x$$x$ 的小数部分记作 $\{x\}$$\{x\}$。

我们记 $f_N(x)$$f_N(x)$ 为：对满足 $0<n\le N$$0 < n \leq N$ 的正整数，$\{nx\}$$\{nx\}$ 的 极小 值。
进一步的，定义 $F(N)$$F(N)$ 为：从 $[0,1]$$[0, 1]$ 中均匀采样 $x$$x$，$f_N(x)$$f_N(x)$ 的期望值。

已知：$F(1)=\frac{1}{2}$$F(1) = \frac{1}{2}$、$F(4)=\frac{1}{4}$$F(4) = \frac{1}{4}$、$F(10)\approx 0.1319444444444$$F(10) \approx 0.1319444444444$。

求 $F({10}^4)$$F(10^4)$，将你的答案四舍五入至小数点后第 13 位。

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