955. Finding Triangles

A sequence $(a_n{)}_{n\ge 0}$$(a_n)_{n \ge 0}$ starts with $a_0=3$$a_0 = 3$ and for each $n\ge 0$$n \ge 0$,

• if $a_n$$a_n$ is a triangle number (A triangle number is a number of the form $m(m+1)/2$$m(m + 1)/2$ for some integer $m$$m$), then $a_{n+1}=a_n+1$$a_{n + 1} = a_n + 1$;

• otherwise, $a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}+1$$a_{n + 1} = 2a_n - a_{n - 1} + 1$.

The sequence begins:

where triangle numbers are marked red.

The $10$$10$th triangle number in the sequence is $a_{2964}=1439056$$a_{2964} = 1439056$.
Find the index $n$$n$ such that $a_n$$a_n$ is the $70$$70$th triangle number in the sequence.

955. 寻找三角形数

我们按如下规则构造序列 $(a_n{)}_{n\ge 0}$$(a_n)_{n \ge 0}$：$a_0=3$$a_0 = 3$，且对诸 $n\ge 0$$n \geq 0$：

• 若 $a_n$$a_n$ 是一个 三角形数（可被写作 $m(m+1)/2,m\in \mathbb{Z}$$m(m + 1)/2, m \in \mathbb{Z}$ 的数），则 $a_{n+1}=a_n+1$$a_{n + 1} = a_n + 1$。

• 否则，$a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}+1$$a_{n + 1} = 2a_n - a_{n - 1} + 1$。

该序列的前 16 项如下，其中三角形数已被标红：

这个序列中的第 $10$$10$ 个三角形数是 $a_{2964}=1439056$$a_{2964} = 1439056$。
求这个序列第 $70$$70$ 个三角形数 $a_n$$a_n$ 的下标 $n$$n$。

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