943. Self Describing Sequences

Given two unequal positive integers $a$$a$ and $b$$b$, we define a self-describing sequence consisting of alternating runs of $a$$a$s and $b$$b$s. The first element is $a$$a$ and the sequence of run lengths is the original sequence.

For $a=2,b=3$$a=2, b=3$, the sequence is:

The sequence begins with two $2$$2$s and two $3$$3$s, then three $2$$2$s and three $3$$3$s, so the run lengths $2,2,3,3,...$$2, 2, 3, 3, ...$ are given by the original sequence.

Let $T(a,b,N)$$T(a, b, N)$ be the sum of the first $N$$N$ elements of the sequence. You are given $T(2,3,10)=25$$T(2,3,10) = 25$, $T(4,2,{10}^4)=30004$$T(4,2,10^4) = 30004$, $T(5,8,{10}^6)=6499871$$T(5,8,10^6) = 6499871$.

Find $\sum T(a,b,22332223332233)$$\sum T(a, b, 22332223332233)$ for $2\le a\le 223$$2 \le a \le 223$, $2\le b\le 223$$2 \le b \le 223$ and $a\ne b$$a \neq b$. Give your answer modulo $2233222333$$2233222333$.

943. 自描述序列

给定两个不等的正整数 $a,b$$a, b$，我们用这两个正整数，生成惟一一个满足如下要求的自描述序列 $\{c_n\}$$\{c_n\}$：

• $c_1=a$$c_1 = a$。

• 按下标顺序排序，该序列的元素依次为：$c_1$$c_1$ 个 $a$$a$，$c_2$$c_2$ 个 $b$$b$，$c_3$$c_3$ 个 $a$$a$，$c_4$$c_4$ 个 $b$$b$，依次类推。

例如 $a=2,b=3$$a = 2, b = 3$ 时，该序列形如：

记 $T(a,b,N)$$T(a, b, N)$ 为：用 $a,b$$a, b$ 生成的自描述序列的前 $N$$N$ 个元素之和。已知 $T(2,3,10)=25$$T(2,3,10) = 25$、$T(4,2,{10}^4)=30004$$T(4,2,10^4) = 30004$、$T(5,8,{10}^6)=6499871$$T(5,8,10^6) = 6499871$。

求所有满足 $2\le a,b\le 223$$2 \le a, b \le 223$ 且 $a\ne b$$a \neq b$ 的 $T(a,b,22332223332233)$$T(a, b, 22332223332233)$ 之和，给出答案模 $2233222333$$2233222333$ 的值。

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