920. Tau Numbers

For a positive integer $n$$n$ we define $\tau (n)$$\tau(n)$ to be the count of the divisors of $n$$n$. For example, the divisors of $12$$12$ are $\{1,2,3,4,6,12\}$$\{1,2,3,4,6,12\}$ and so $\tau (12)=6$$\tau(12) = 6$.

A positive integer $n$$n$ is a tau number if it is divisible by $\tau (n)$$\tau(n)$. For example $\tau (12)=6$$\tau(12)=6$ and $6$$6$ divides $12$$12$ so $12$$12$ is a tau number.

Let $m(k)$$m(k)$ be the smallest tau number $x$$x$ such that $\tau (x)=k$$\tau(x) = k$. For example, $m(8)=24$$m(8) = 24$, $m(12)=60$$m(12)=60$ and $m(16)=384$$m(16)=384$.

Further define $M(n)$$M(n)$ to be the sum of all $m(k)$$m(k)$ whose values do not exceed ${10}^n$$10^n$. You are given $M(3)=3189$$M(3) = 3189$.

Find $M(16)$$M(16)$.

920. $\tau$$\tau$ 数

对正整数 $n$$n$，我们记 $\tau (n)$$\tau(n)$ 为 $n$$n$ 的正约数的个数。例如 $12$$12$ 的所有因数是 $\{1,2,3,4,6,12\}$$\{1,2,3,4,6,12\}$，于是 $\tau (12)=6$$\tau(12) = 6$。

若正整数 $n$$n$ 满足 $\tau (n)$$\tau(n)$ 整除 $n$$n$，则称 $n$$n$ 是一个 $\tau$$\mathbf{\tau}$-数。例如，$\tau (12)=6$$\tau(12) = 6$ 整除 $12$$12$，所以 $12$$12$ 是一个 $\tau$$\tau$ 数。

记 $m(k)$$m(k)$ 为最小的，满足 $\tau (x)=k$$\tau(x) = k$ 的 $\tau$$\tau$-数 $x$$x$。已知 $m(8)=24$$m(8) = 24$、$m(12)=60$$m(12) = 60$、$m(16)=384$$m(16) = 384$。

再记 $M(n)=\sum _{k=1}^{{10}^n}m(k)$$M(n) = \sum_{k=1}^{10^n} m(k)$，已知 $M(3)=3189$$M(3) = 3189$。

求 $M(16)$$M(16)$。

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