911. Khinchin Exceptions

An irrational number $x$$x$ can be uniquely expressed as a continued fraction $[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots ]$$[a_0; a_1,a_2,a_3,\dots]$:

where $a_0$$a_0$ is an integer and $a_1,a_2,a_3,\dots$$a_1,a_2,a_3,\dots$ are positive integers.

Define $k_j(x)$$k_j(x)$ to be the geometric mean of $a_1,a_2,\dots ,a_j$$a_1,a_2,\dots,a_j$.
That is, $k_j(x)=(a_1{a}_2\cdots a_j{)}^{1/j}$$k_j(x)=(a_1a_2 \cdots a_j)^{1/j}$.
Also define $k_{\mathrm{\infty }}(x)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}{k}_j(x)$$k_\infty(x)=\lim_{j\to \infty} k_j(x)$.

Khinchin proved that almost all irrational numbers $x$$x$ have the same value of $k_{\mathrm{\infty }}(x)\approx 2.685452\dots$$k_\infty(x)\approx2.685452\dots$ known as Khinchin's constant. However, there are some exceptions to this rule.

For $n\ge 0$$n\geq 0$ define

For example ${\rho }_2$$\rho_2$, with continued fraction beginning $[3;3,1,3,4,3,1,3,\dots ]$$[3; 3, 1, 3, 4, 3, 1, 3,\dots]$, has $k_{\mathrm{\infty }}({\rho }_2)\approx 2.059767$$k_\infty(\rho_2)\approx2.059767$.

Find the geometric mean of $k_{\mathrm{\infty }}({\rho }_n)$$k_{\infty}(\rho_n)$ for $0\le n\le 50$$0\leq n\leq 50$, giving your answer rounded to six digits after the decimal point.

911. 辛钦例外

一个无理数恰有惟一的连分数表示 $[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots ]$$[a_0; a_1,a_2,a_3,\dots]$，其中 $a_0$$a_0$ 是整数、而 $a_1,a_2,a_3,\dots$$a_1,a_2,a_3,\dots$ 均是正整数：

记 $k_j(x)$$k_j(x)$ 为 $a_1,a_2,\dots ,a_j$$a_1,a_2,\dots,a_j$ 的几何平均数。亦即，$k_j(x)=(a_1{a}_2\cdots a_j{)}^{1/j}$$k_j(x)=(a_1a_2 \cdots a_j)^{1/j}$。再记 $k_{\mathrm{\infty }}(x)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}{k}_j(x)$$k_\infty(x)=\lim_{j\to \infty} k_j(x)$。

前苏联数学家辛钦证明了，对 几乎所有 无理数 $x$$x$，$k_{\mathrm{\infty }}(x)$$k_{\infty}(x)$ 均等于 辛钦常数 $\approx 2.685452\dots$$\approx2.685452\dots$。不过有一些数不符合这个规律。

对整数 $n\ge 0$$n\geq 0$ 定义：

例如 ${\rho }_2$$\rho_2$ 的连分数表示是 $[3;3,1,3,4,3,1,3,\dots ]$$[3; 3, 1, 3, 4, 3, 1, 3,\dots]$，对应的 $k_{\mathrm{\infty }}({\rho }_2)\approx 2.059767$$k_\infty(\rho_2)\approx2.059767$。

求 $0\le n\le 50$$0\leq n\leq 50$ 时，全体 $k_{\mathrm{\infty }}({\rho }_n)$$k_{\infty}(\rho_n)$ 的几何平均数。将你的答案四舍五入至小数点后第 $6$$6$ 位。

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