906. A Collective Decision

Three friends attempt to collectively choose one of $n$$n$ options, labeled $1,\dots ,n$$1,\dots,n$, based upon their individual preferences. They choose option $i$$i$ if for every alternative option $j$$j$ at least two of the three friends prefer $i$$i$ over $j$$j$. If no such option $i$$i$ exists they fail to reach an agreement.

Define $P(n)$$P(n)$ to be the probability the three friends successfully reach an agreement and choose one option, where each of the friends' individual order of preference is given by a (possibly different) random permutation of $1,\dots ,n$$1,\dots,n$.

You are given $P(3)=17/18$$P(3)=17/18$ and $P(10)\approx 0.6760292265$$P(10)\approx0.6760292265$.

Find $P(20000)$$P(20\,000)$. Give your answer rounded to ten places after the decimal point.

906. 共同做出的选择

三个好朋友聚在了一起，正尝试从 $1,\dots ,n$$1,\dots,n$ 这 $n$$n$ 个选项中，依据个人喜好，选出 $1$$1$ 个选项。对于选项 $i$$i$，如果对每个其他选项 $j$$j$，都满足：这三人中至少有两人较选项 $j$$j$ 而言更喜欢选项 $i$$i$，那么这三个人就会选择选项 $i$$i$。如果不存在满足条件的选项 $i$$i$，那么他们无法达成一致。

记 $P(n)$$P(n)$ 为：在每个人的个人喜好排序都是 $1,\dots ,n$$1,\dots,n$ 的随机排列的条件下，三个人能够达成一致的概率。已知：$P(3)=17/18$$P(3)=17/18$、$P(10)\approx 0.6760292265$$P(10)\approx0.6760292265$。

求 $P(20000)$$P(20\,000)$。将你的答案四舍五入至小数点后第 10 位。

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