880. Nested Radicals

$(x,y)$$(x,y)$ is called a nested radical pair if $x$$x$ and $y$$y$ are non-zero integers such that ${\displaystyle \frac{x}{y}}$$\dfrac{x}{y}$ is not a cube of a rational number, and there exist integers $a$$a$, $b$$b$ and $c$$c$ such that:

For example, both $(-4,125)$$(-4,125)$ and $(5,5324)$$(5,5324)$ are nested radical pairs:

Let $H(N)$$H(N)$ be the sum of $|x|+|y|$$|x|+|y|$ for all the nested radical pairs $(x,y)$$(x, y)$ where $|x|\le |y|\le N$$|x| \leq |y|\leq N$. For example, $H({10}^3)=2535$$H(10^3)=2535$.

Find $H({10}^{15})$$H(10^{15})$. Give your answer modulo ${1031}^3+2$$1031^3+2$.

880. 嵌套根式

若非零整数 $x,y$$x, y$ 满足：${\displaystyle \frac{x}{y}}$$\dfrac{x}{y}$ 不是某有理数的立方，且存在正整数 $a$$a$、$b$$b$、$c$$c$ 使得：

则称 $(x,y)$$(x, y)$ 是一个 嵌套根式对。例如，因为如下等式成立，所以 $(-4,125)$$(-4,125)$ 和 $(5,5324)$$(5,5324)$ 都是嵌套根式对。

记 $H(N)$$H(N)$ 为所有满足 $|x|\le |y|\le N$$|x| \leq |y|\leq N$ 的嵌套根式对 $(x,y)$$(x, y)$ 的 $|x|+|y|$$|x|+|y|$ 之和。已知 $H({10}^3)=2535$$H(10^3)=2535$。

求 $H({10}^{15})$$H(10^{15})$ 模 $({1031}^3+2)$$(1031^3+2)$ 之值。

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