876. Triplet Tricks

Starting with three numbers $a,b,c$$a, b, c$, at each step do one of the three operations:

• change $a$$a$ to $2(b+c)-a$$2(b + c) - a$;

• change $b$$b$ to $2(c+a)-b$$2(c + a) - b$;

• change $c$$c$ to $2(a+b)-c$$2(a + b) - c$;

Define $f(a,b,c)$$f(a, b, c)$ to be the minimum number of steps required for one number to become zero. If this is not possible then $f(a,b,c)=0$$f(a, b, c)=0$.

For example, $f(6,10,35)=3$$f(6,10,35)=3$:

However, $f(6,10,36)=0$$f(6,10,36)=0$ as no series of operations leads to a zero number.

Also define $F(a,b)=\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}f(a,b,c)$$F(a, b)=\sum_{c=1}^\infty f(a,b,c)$. You are given $F(6,10)=17$$F(6,10)=17$ and $F(36,100)=179$$F(36,100)=179$.

Find ${\displaystyle \sum _{k=1}^{18}F(6^k,{10}^k)}$$\displaystyle\sum_{k=1}^{18}F(6^k,10^k)$.

876. 三元组技巧

现有三个数 $a,b,c$$a, b, c$。在接下来的每一步中，你可以进行如下三个操作之一：

• 令 $a\leftarrow 2(b+c)-a$$a \gets 2(b + c) - a$。

• 令 $b\leftarrow 2(c+a)-b$$b \gets 2(c + a) - b$。

• 令 $c\leftarrow 2(a+b)-c$$c \gets 2(a + b) - c$。

记 $f(a,b,c)$$f(a, b, c)$ 为：使其中一个数变为 $0$$0$ 所需的最少步数，若不可能则令 $f(a,b,c)=0$$f(a, b, c)=0$。

例如，$f(6,10,35)=3$$f(6,10,35)=3$，可能的三步操作如下：

然而，$f(6,10,36)=0$$f(6,10,36)=0$，因为你无法通过上述操作使得任何数为 $0$$0$。

另外记 $F(a,b)=\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}f(a,b,c)$$F(a, b)=\sum_{c=1}^\infty f(a,b,c)$，已知 $F(6,10)=17$$F(6,10)=17$、$F(36,100)=179$$F(36,100)=179$。

求 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{18}F(6^k,{10}^k)}$$\displaystyle\sum_{k=1}^{18}F(6^k,10^k)$。

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