873. Words with Gaps

Let $W(p,q,r)$$W(p,q,r)$ be the number of words that can be formed using the letter A $p$$p$ times, the letter B $q$$q$ times and the letter C $r$$r$ times with the condition that every A is separated from every B by at least two Cs. For example, CACACCBB is a valid word for $W(2,2,4)$$W(2,2,4)$ but ACBCACBC is not.

You are given $W(2,2,4)=32$$W(2,2,4)=32$ and $W(4,4,44)=13908607644$$W(4,4,44)=13908607644$.

Find $W({10}^6,{10}^7,{10}^8)$$W(10^6,10^7,10^8)$. Give your answer modulo $1000000007$$1\,000\,000\,007$.

873. 带间隔的单词

记 $W(p,q,r)$$W(p, q, r)$ 为：由 $p$$p$ 个 A、$q$$q$ 个 B、$r$$r$ 个 C 组成，且任意 A、B 之间至少被 $2$$2$ 个 C 隔开的词的数量。例如，CACACCBB 是一个符合要求的词，而 ACBCACBC 不是。

已知：$W(2,2,4)=32$$W(2,2,4)=32$、$W(4,4,44)=13908607644$$W(4,4,44)=13908607644$。

求 $W({10}^6,{10}^7,{10}^8)$$W(10^6,10^7,10^8)$ 模 $1000000007$$1\,000\,000\,007$ 的值。

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