861. Products of Bi-Unitary Divisors

A unitary divisor of a positive integer $n$$n$ is a divisor $d$$d$ of $n$$n$ such that $gcd(d,\frac{n}{d})=1$$\gcd\left(d,\frac{n}{d}\right)=1$.

A bi-unitary divisor of $n$$n$ is a divisor $d$$d$ for which $1$$1$ is the only unitary divisor of $d$$d$ that is also a unitary divisor of $\frac{n}{d}$$\frac{n}{d}$.

For example, $2$$2$ is a bi-unitary divisor of $8$$8$, because the unitary divisors of $2$$2$ are $\{1,2\}$$\{1,2\}$, and the unitary divisors of $8/2$$8/2$ are $\{1,4\}$$\{1,4\}$, with $1$$1$ being the only unitary divisor in common.

The bi-unitary divisors of $240$$240$ are $\{1,2,3,5,6,8,10,15,16,24,30,40,48,80,120,240\}$$\{1,2,3,5,6,8,10,15,16,24,30,40,48,80,120,240\}$.

Let $P(n)$$P(n)$ be the product of all bi-unitary divisors of $n$$n$. Define $Q_k(N)$$Q_k(N)$ as the number of positive integers $1<n\le N$$1 \lt n \leq N$ such that $P(n)=n^k$$P(n)=n^k$. For example, $Q_2\left({10}^2\right)=51$$Q_2\left(10^2\right)=51$ and $Q_6\left({10}^6\right)=6189$$Q_6\left(10^6\right)=6189$.

Find $\sum _{k=2}^{10}{Q}_k\left({10}^{12}\right)$$\sum_{k=2}^{10}Q_k\left(10^{12}\right)$.

861. 双单元因数的乘积

若正整数 $n$$n$ 的某个因数 $d$$d$ 满足 $gcd(d,\frac{n}{d})=1$$\gcd(d, \frac{n}{d}) = 1$，则称 $d$$d$ 是 $n$$n$ 的一个 单元因数。

若正整数 $n$$n$ 的某个因数 $d$$d$ 满足：只有 $1$$1$ 既是 $d$$d$ 的单元因数、又是 $\frac{n}{d}$$\frac{n}{d}$ 的单元因数，则称 $d$$d$ 是 $n$$n$ 的一个 双单元因数。

例如，$n=8,d=2$$n = 8, d = 2$ 时，$2$$2$ 的单元因数有 $1,2$$1, 2$，$8/2$$8/2$ 的单元因数有 $1,4$$1, 4$，二者共有的单元因数只有 $1$$1$。所以 $2$$2$ 是 $8$$8$ 的一个双单元因数。

$240$$240$ 的双单元因数有 $1,2,3,5,6,8,10,15,16,24,30,40,48,80,120,240$$1,2,3,5,6,8,10,15,16,24,30,40,48,80,120,240$。

记 $P(n)$$P(n)$ 为 $n$$n$ 全体双单元因数的乘积，再记 $Q_k(n)$$Q_k(n)$ 为 $1<n\le N$$1 < n \leq N$ 的正整数中，满足 $P(n)=n^k$$P(n) = n^k$ 的正整数的个数。已知：$Q_2\left({10}^2\right)=51$$Q_2\left(10^2\right)=51$、$Q_6\left({10}^6\right)=6189$$Q_6\left(10^6\right)=6189$。

求 $\sum _{k=2}^{10}{Q}_k\left({10}^{12}\right)$$\sum_{k=2}^{10}Q_k\left(10^{12}\right)$。

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