851. SOP and POS

Let $n$$n$ be a positive integer and let $E_n$$E_n$ be the set of $n$$n$-tuples of strictly positive integers.

For $u=(u_1,\cdots ,u_n)$$u = (u_1, \cdots, u_n)$ and $v=(v_1,\cdots ,v_n)$$v = (v_1, \cdots, v_n)$ two elements of $E_n$$E_n$, we define:

• the Sum Of Products of $u$$u$ and $v$$v$, denoted by $⟨u,v⟩$$\langle u, v\rangle$, as the sum ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i}$$\displaystyle\sum_{i = 1}^n u_i v_i$;

• the Product Of Sums of $u$$u$ and $v$$v$, denoted by $u\star v$$u \star v$, as the product ${\displaystyle \prod _{i=1}^n(u_i+v_i)}$$\displaystyle\prod_{i = 1}^n (u_i + v_i)$.

Let $R_n(M)$$R_n(M)$ be the sum of $u\star v$$u \star v$ over all ordered pairs $(u,v)$$(u, v)$ in $E_n$$E_n$ such that $⟨u,v⟩=M$$\langle u, v\rangle = M$.
For example: $R_1(10)=36$$R_1(10) = 36$, $R_2(100)=1873044$$R_2(100) = 1873044$, $R_2(100!)\equiv 446575636mod{10}^9+7$$R_2(100!) \equiv 446575636 \bmod 10^9 + 7$.

Find $R_6(10000!)$$R_6(10000!)$. Give your answer modulo ${10}^9+7$$10^9+7$.

851. 积之和与和之积

对于某正整数 $n$$n$，记 $E_n$$E_n$ 为所有 $n$$n$ 元正整数元组的集合。

对于 $E_n$$E_n$ 中的两元素 $u=(u_1,\cdots ,u_n)$$u = (u_1, \cdots, u_n)$ 与 $v=(v_1,\cdots ,v_n)$$v = (v_1, \cdots, v_n)$，记：

• $u$$u$ 与 $v$$v$ 的 积之和 $⟨u,v⟩={\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i}$$\langle u, v \rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} u_iv_i$。

• $u$$u$ 与 $v$$v$ 的 和之积 $u\star v={\displaystyle \prod _{i=1}^n(u_i+v_i)}$$u \star v = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} (u_i + v_i)$。

记 $R_n(M)$$R_n(M)$ 为：$E_n$$E_n$ 中所有满足 $⟨u,v⟩=M$$\langle u, v \rangle = M$ 的数对 $(u,v)$$(u, v)$ 的 $u\star v$$u \star v$ 之和。已知 $R_1(10)=36$$R_1(10) = 36$、$R_2(100)=1873044$$R_2(100) = 1873044$、$R_2(100!)\equiv 446575636(\mathrm{mod}{10}^9+7)$$R_2(100!) \equiv 446575636 \pmod {10^9+7}$。

求 $R_6(10000!)$$R_6(10000!)$ 模 $({10}^9+7)$$(10^9+7)$ 的值。

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