842. Irregular Star Polygons

Given $n$$n$ equally spaced points on a circle, we define an $n$$n$-star polygon as an $n$$n$-gon having those $n$$n$ points as vertices. Two $n$$n$-star polygons differing by a rotation/reflection are considered different.

For example, there are twelve $5$$5$-star polygons shown below.

For an $n$$n$-star polygon $S$$S$, let $I(S)$$I(S)$ be the number of its self intersection points. Let $T(n)$$T(n)$ be the sum of $I(S)$$I(S)$ over all $n$$n$-star polygons $S$$S$. For the example above $T(5)=20$$T(5) = 20$ because in total there are $20$$20$ self intersection points.

Some star polygons may have intersection points made from more than two lines. These are only counted once. For example, $S$$S$, shown below is one of the sixty $6$$6$-star polygons. This one has $I(S)=4$$I(S) = 4$.

You are also given that $T(8)=14640$$T(8) = 14640$.

Find ${\displaystyle \sum _{n=3}^{60}T(n)}$$\displaystyle \sum_{n = 3}^{60}T(n)$. Give your answer modulo $({10}^9+7)$$(10^9 + 7)$.

842. 不规则星形多边形

在圆上均匀分布 $n$$n$ 个点，我们定义 星形 $n$$n$ 边形 为以这 $n$$n$ 个点为顶点的 $n$$n$ 边形。经旋转、反转后一致的多边形被认为是不同的。

下图是 12 个星形 $5$$5$ 边形。

对于一个星形 $n$$n$ 边形 $S$$S$，记 $I(S)$$I(S)$ 为该 $n$$n$ 边形自相交点的个数。记 $T(n)$$T(n)$ 为所有星形 $n$$n$ 边形的 $I(S)$$I(S)$ 之和。已知：$T(5)=20$$T(5) = 20$。

需要注意的是，如果有多于两条边同时交于一点，这个自相交点应该只被计数 1 次。如下图，对于这个星形六边形 $S$$S$，$I(S)=4$$I(S) = 4$。

又已知：$T(8)=14640$$T(8) = 14640$。

求 ${\displaystyle \sum _{n=3}^{60}T(n)}$$\displaystyle \sum_{n = 3}^{60}T(n)$ 模 $({10}^9+7)$$(10^9 + 7)$ 之值。

点 这个链接 回到源站。

点 这个链接 回到详细版题目目录。