Problem 840. Sum of Products

partition $n$ $n$
$\{5\},\{1,4\},\{2,3\},\{1,1,3\},\{1,2,2\},\{1,1,1,2\}$ $\{1,1,1,1,1\}$ .

$D(p)$ as:

\begin{align} \begin{split} D(1) & = 1 \\ D(p) & = 1, \text{ for any prime } p \\ D(pq) & = D(p)q + pD(q), \text{ for any positive integers } p,q \gt 1. \end{split} \end{align}

$\{a_1, a_2,\ldots,a_k\}$ $n$ .
We assign to this particular partition the value:

P=\prod_{j=1}^{k}D(a_j).

$G(n)$ $P$ $n$
$G(10) = 164$ .

We also define:

S(N)=\sum_{n=1}^{N}G(n).

$S(10)=396$
$S(5\times 10^4) \mod 999676999$ .

$n$ 拆分（partition） $n$ $5$ $\{5\},\{1,4\},\{2,3\},\{1,1,3\},\{1,2,2\},\{1,1,1,2\},\{1,1,1,1,1\}$ 。

$D(p)$ 满足：

\begin{align} \begin{split} D(1) & = 1 \\ D(p) & = 1, \text{ 对任意质数 } p \\ D(pq) & = D(p)q + pD(q), \text{ 对任意正整数 } p,q \gt 1. \end{split} \end{align}

$n$ $\{a_1, a_2,\ldots,a_k\}$ $P$ $P$ 的计算方法为：

P=\prod_{j=1}^{k}D(a_j)

$G(n)$ $n$ $P$ $G(10) = 164$ 。

再进一步的，令

S(N)=\sum_{n=1}^{N}G(n)

$S(10)=396$ 。

$S(5\times 10^4) \mod 999676999$ 之值。

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