827. Pythagorean Triple Occurrence

Define $Q(n)$ to be the smallest number that occurs in exactly $n$ Pythagorean triples $(a,b,c)$ where $a \lt b \lt c$.

For example, $15$ is the smallest number occurring in exactly $5$ Pythagorean triples:

and so $Q(5) = 15$.

You are also given $Q(10)=48$ and $Q(10^3)=8064000$.

Find $\displaystyle \sum_{k=1}^{18} Q(10^k)$. Give your answer modulo $409120391$.

827. 在毕达哥拉斯三元组中的出现次数

记 $Q(n)$ 为在所有 毕达哥拉斯三元组 $(a,b,c)$（其中 $a \lt b \lt c$）中恰好出现 $n$ 次的最小正整数。

如 $15$ 就是最小的，恰好在 $5$ 个毕达哥拉斯三元组中出现的整数。因而 $Q(5) = 15$。

已知：$Q(10)=48$ 且 $Q(10^3)=8064000$。

求 $\displaystyle \sum_{k=1}^{18} Q(10^k)$ 模 $409120391$ 之值。

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