794. Seventeen Points

This problem uses half open interval notation where $[a,b)$$[a,b)$ represents $a\le x<b$$a \le x < b$.

A real number, $x_1$$x_1$, is chosen in the interval $[0,1)$$[0,1)$. A second real number, $x_2$$x_2$, is chosen such that each of $[0,\frac{1}{2})$$[0,\frac{1}{2})$ and $[\frac{1}{2},1)$$[\frac{1}{2},1)$ contains exactly one of $(x_1,x_2)$$(x_1, x_2)$. Continue such that on the $n$$n$-th step a real number, $x_n$$x_n$, is chosen so that each of the intervals $[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n})$$[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n})$ for $k\in \{1,...,n\}$$k \in \{1, ..., n\}$ contains exactly one of $(x_1,x_2,...,x_n)$$(x_1, x_2, ..., x_n)$.

Define $F(n)$$F(n)$ to be the minimal value of the sum $x_1+x_2+...+x_n$$x_1 + x_2 + ... + x_n$ of a tuple $(x_1,x_2,...,x_n)$$(x_1, x_2, ..., x_n)$ chosen by such a procedure. For example, $F(4)=1.5$$F(4) = 1.5$ obtained with $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0.75,0.5,0.25)$$(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 0.75, 0.5, 0.25)$.

Surprisingly, no more than $17$$17$ points can be chosen by this procedure.

Find $F(17)$$F(17)$ and give your answer rounded to 12 decimal places.

794. 十七个点

本题中我们用左闭右开区间 $[a,b)$$[a,b)$ 表示 $a\le x<b$$a \le x < b$。

我们先从 $[0,1)$$[0,1)$ 中选出一个实数 $x_1$$x_1$。 随后，我们再选出一个实数 $x_2$$x_2$，使得区间 $[0,\frac{1}{2})$$[0,\frac{1}{2})$, $[\frac{1}{2},1)$$[\frac{1}{2},1)$ 均只含二元组 $(x_1,x_2)$$(x_1, x_2)$ 中的一个数。 我们不断进行此过程：第 $n$$n$ 步中，我们选出一个实数 $x_n$$x_n$ 使得：对于任意 $k\in \{1,...,n\}$$k \in \{1, ..., n\}$，区间 $[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n})$$[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n})$ 都只含 $n$$n$ 元组 $(x_1,x_2,...,x_n)$$(x_1, x_2, ..., x_n)$ 中的一个数。

$n$$n$ 步后我们得到一个 $n$$n$ 元组 $(x_1,x_2,...,x_n)$$(x_1, x_2, ..., x_n)$，记 $F(n)$$F(n)$ 为 $x_1+x_2+\cdots +x_n$$x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ 的最小值。例如 $F(4)=1.5$$F(4) = 1.5$，这可以通过 $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0.75,0.5,0.25)$$(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 0.75, 0.5, 0.25)$ 取到。

令人惊讶的是，在此过程中，你最多只能取 $17$$17$ 个实数。¹

求 $F(17)$$F(17)$，将你的答案四舍五入至小数点后第 12 位。

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