785. Symmetric Diophantine equation

Consider the following Diophantine equation:

where $x$, $y$ and $z$ are positive integers.

Let $S(N)$ be the sum of all solutions, $(x,y,z)$, of this equation such that, $1 \le x \le y \le z \le N$ and $\gcd(x, y, z) = 1$.

For $N = 10^2$, there are three such solutions - $(1, 7, 16), (8, 9, 39), (11, 21, 72)$. So $S(10^2) = 184$.

Find $S(10^9)$.

785. 对称丢番图方程

考虑如下丢番图方程：

其中 $x$、$y$、$z$ 均为正整数。

令 $S(N)$ 为所有满足以下条件的正整数三元组 $(x, y, z)$ 的 $x + y + z$ 之和：$(x, y, z)$ 是上述丢番图方程的解、$1 \le x \le y \le z \le N$、$\gcd(x, y, z) = 1$。

$N = 10^2$ 时，有三组满足条件的解：$(1, 7, 16), (8, 9, 39), (11, 21, 72)$。故 $S(10^2) = 184$。

求 $S(10^9)$。

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