769. Binary Quadratic Form II

Consider the following binary quadratic form:

A positive integer $q$$q$ has a primitive representation if there exist positive integers $x$$x$ and $y$$y$ such that $q=f(x,y)$$q = f(x,y)$ and $gcd(x,y)=1$$\gcd(x,y)=1$.

We are interested in primitive representations of perfect squares. For example:
${17}^2=f(1,9)$$17^2=f(1,9)$
${87}^2=f(13,40)=f(46,19)$$87^2=f(13,40) = f(46,19)$

Define $C(N)$$C(N)$ as the total number of primitive representations of $z^2$$z^2$ for $0<z\le N$$0 < z \leq N$.
Multiple representations are counted separately, so for example $z=87$$z=87$ is counted twice.

You are given $C({10}^3)=142$$C(10^3)=142$ and $C({10}^6)=142463$$C(10^{6})=142463$

Find $C({10}^{14})$$C(10^{14})$.

769. 二元二次型 II

考虑如下的二元二次型：

若存在正整数 $x,y$$x, y$ 使得 $q=f(x,y)$$q = f(x, y)$ 且 $gcd(x,y)=1$$\gcd(x, y) = 1$，则称正整数 $q$$q$ 存在本原表示。

我们对完全平方数的本原表示很感兴趣，例如：
${17}^2=f(1,9)$$17^2=f(1,9)$
${87}^2=f(13,40)=f(46,19)$$87^2=f(13,40) = f(46,19)$

记 $C(N)$$C(N)$ 为所有在 $[1,N^2]$$[1, N^2]$ 内的完全平方数的本原表示数量的总和。如 $C({10}^3)=142$$C(10^3)=142$、$C({10}^6)=142463$$C(10^{6})=142463$。不同的表示方法计算多次，如 ${87}^2$$87^2$ 的两种本原表示应被计算两次。

求 $C({10}^{14})$$C(10^{14})$。

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