755. Not Zeckendorf

Consider the Fibonacci sequence $\{1,2,3,5,8,13,21,\dots \}$$\{1,2,3,5,8,13,21,\ldots\}$.

We let $f(n)$$f(n)$ be the number of ways of representing an integer $n\ge 0$$n\ge 0$ as the sum of different Fibonacci numbers.
For example, $16=3+13=1+2+13=3+5+8=1+2+5+8$$16 = 3+13 = 1+2+13 = 3+5+8 = 1+2+5+8$ and hence $f(16)=4$$f(16) = 4$. By convention $f(0)=1$$f(0) = 1$.

Further we define

You are given $S(100)=415$$S(100) = 415$ and $S({10}^4)=312807$$S(10^4) = 312807$.

Find ${\displaystyle S({10}^{13})}$$\displaystyle S(10^{13})$.

755. 不是齐肯多夫表示 ¹

考虑斐波那契数列 $\{1,2,3,5,8,13,21,\dots \}$$\{1,2,3,5,8,13,21,\ldots\}$。

记 $f(n)$$f(n)$ 为：将整数 $n\ge 0$$n \geq 0$ 写为不同的斐波那契数的和的方法数。
例如，有 $16=3+13=1+2+13=3+5+8=1+2+5+8$$16 = 3+13 = 1+2+13 = 3+5+8 = 1+2+5+8$，于是有 $f(16)=4$$f(16) = 4$。按惯例，我们令 $f(0)=1$$f(0) = 1$。

进一步定义

你已知 $S(100)=415$$S(100) = 415$、$S({10}^4)=312807$$S(10^4) = 312807$。

求 ${\displaystyle S({10}^{13})}$$\displaystyle S(10^{13})$。

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