689. Binary Series

For $0 \le x \lt 1$, define $d_i(x)$ to be the $i$th digit after the binary point of the binary representation of $x$. For example $d_2(0.25) = 1$, $d_i(0.25) = 0$ for $i \ne 2$.

Let $f(x) = \displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d_i(x)}{i^2}}$.

Let $p(a)$ be probability that $f(x) \gt a$, given that $x$ is uniformly distributed between 0 and 1.

Find $p(0.5)$. Give your answer rounded to 8 digits after the decimal point.

689. 二进制级数

对于满足 $0 \le x \lt 1$ 的实数 $x$，记 $d_i(x)$ 为 $x$ 二进制表示下，小数点后第 $i$ 位。 比如说，$d_2(0.25) = 1$。且对于正整数 $i \ne 2$，$d_i(0.25) = 0$。

记 $f(x) = \displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d_i(x)}{i^2}}$。

记 $p(a)$ 为当 $x$ 在 0 到 1 之间均匀分布时，$f(x) \gt a$ 的概率。

求 $p(0.5)$ 并将答案四舍五入至小数点后第 8 位。

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