678. Fermat-like Equations

If a triple of positive integers $(a, b, c)$ satisfies $a^2+b^2=c^2$, it is called a Pythagorean triple. No triple $(a, b, c)$ satisfies $a^e + b^e = c^e$ when $e \geq 3$ (Fermat's Last Theorem). However, if the exponents of the left-hand side and right-hand side differ, this is not true. For example, $3^3 + 6^3 = 3^5$.

Let $a, b, c, e, f$ be all positive integers, $0 < a < b$, $e \geq 2$, $f \geq 3$ and $c^f \leq N$. Let $F(N)$ be the number of $(a, b, c, e, f)$ such that $a^e + b^e = c^f$. You are given $F(10^3) = 7$, $F(10^5) = 53$, and $F(10^7) = 287$.

Find $F(10^{18})$.

678. 费马式方程

如果一个正整数三元组 $(a, b, c)$ 满足 $a^2+b^2=c^2$，则称其为毕达哥拉斯三元组。

当 $e \geq 3$ 时，费马大定理指出，没有任何正整数三元组 $(a, b, c)$ 满足 $a^e + b^e = c^e$。但是，如果等号左边的指数与右边不一样，这方程就可能有正整数解了。例如有 $3^3 + 6^3 = 3^5$。

令 $F(N)$ 为满足方程 $a^e + b^e = c^f$ 的正整数五元组 $(a, b, c, e, f)$ 的个数，其中 $a, b, c, e, f$ 满足：$0 < a < b$、$e \geq 2$、$f \geq 3$ 且 $c^f \leq N$。已知：$F(10^3) = 7$、$F(10^5) = 53$ 且 $F(10^7) = 287$。

求 $F(10^{18})$。

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