⚠️ 剧透警告！

下文包括了大部分 Project Euler 的奖励题目，提前阅读下文内容可能会降低您在探索奖励题目时的兴趣。

❓ 需要更多信息

笔者目前仍未解锁任何奖励题目，下文中的所有内容均来自 NaCly_Fish：Project Euler 隐藏题目列表 - 洛谷专栏 和 IVL - Project Euler Solutions - Bonus Problems。

目前，仍有一道奖励题目未知。欢迎读者提供相关信息。

下文展示了 Project Euler 的部分奖励题目 (Bonus Problems)，读者可以在 Progress > Bonus 中查看自己是否解锁这些题目。如果您没有解锁相关题目，那么点击下文中的题目链接不会有任何作用。

Problem: -1

If we list all the natural numbers below $10$$10$ that are multiples of $3$$3$ or $5$$5$, we get $3,5,6$$3, 5, 6$ and $9$$9$. The sum of these multiples is $23$$23$.

Find the sum of all the multiples of $3$$3$ or $5$$5$ below infinity.

$\le 10$$\leq 10$ 的自然数中，$3,5,6,9$$3, 5, 6, 9$ 这四个数或是 $3$$3$ 的倍数，或是 $5$$5$ 的倍数。这些数的和是 $23$$23$。

求全体或是 $3$$3$ 的倍数，或是 $5$$5$ 的倍数的自然数之和。

Problem: Heegner

Among all non-square integers $n$$n$ with absolute value not exceeding ${10}^3$$10^3$, find the value of $n$$n$ such that $\cos (\pi \sqrt{n})$$\cos(\pi \sqrt{n})$ is closest to an integer.

在全体绝对值 $\le {10}^3$$\leq 10^3$ 的非完全平方数中，使得 $\cos (\pi \sqrt{n})$$\cos(\pi \sqrt{n})$ 最接近整数的 $n$$n$ 是哪一个？

Problem: $\sqrt{13}$$\sqrt{13}$ (root13)

The decimal expansion of the square root of two is $1.\underset{―}{4142135623}730\cdots$$1.\underline{4142135623}730\cdots$。

If we define $S(n,d)$$S(n, d)$ to be the sum of the first $d$$d$ digits in the fractional part of the decimal expansion of $\sqrt{n}$$\sqrt{n}$, it can be seen that $S(2,10)=4+1+4+\cdots +3=31$$S(2, 10) = 4 + 1 + 4 + \cdots + 3 = 31$.

It can be confirmed that $S(2,100)=481$$S(2, 100) = 481$.

Find $S(13,1000)$$S(13, 1000)$.

Note: Instead of just using arbitrary precision floats, try to be creative with your method.

$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$ 的十进制表示是 $1.\underset{―}{4142135623}730\cdots$$1.\underline{4142135623}730 \cdots$。

若记 $S(n,d)$$S(n, d)$ 为：$\sqrt{n}$$\sqrt{n}$ 的十进制表示中，小数点后第 1 位至第 $d$$d$ 位的数码之和，则有 $S(2,10)=31$$S(2, 10) = 31$，亦可验证 $S(2,100)=481$$S(2, 100) =481$。

求 $S(13,1000)$$S(13, 1000)$ 的值。

注： 你大可以使用任意精度浮点数得到答案，不过尝试在求解方法上做点创新吧！

Problem: 18i

Let $R(p)$$R(p)$ be the remainder when he product $\prod _{x=0}^{p-1}(x^3-3x+4)$$\prod_{x=0}^{p-1} (x^3 - 3x + 4)$ is divided by $p$$p$. For example, $R(11)=0$$R(11) = 0$ and $R(29)=13$$R(29) = 13$.

Find the sum of $R(p)$$R(p)$ over all primes $p$$p$ between $1000000000$$1 \ 000 \ 000 \ 000$ and $1100000000$$1 \ 100 \ 000 \ 000$.

记 $R(p)$$R(p)$ 为 $\prod _{x=0}^{p-1}(x^3-3x+4)$$\prod_{x=0}^{p-1} (x^3 - 3x + 4)$ 模 $p$$p$ 的值，例如 $R(11)=0$$R(11) = 0$、$R(29)=13$$R(29) = 13$。

求 $\sum _{p}R(p)$$\sum_p R(p)$，其中 $p$$p$ 取遍 $[1000000000,1100000000]$$[1 \ 000 \ 000 \ 000, 1 \ 100 \ 000 \ 000]$ 的全体质数。